Tip:
Highlight text to annotate it
X
Σ'αυτο το βίντεο θέλω να εξοικειωθείται με την έννοια του ορίου , μια πολύ σημαντική έννοια,
Ουσιαστικά στην έννοια των ορίων στηρίζεται ο λογισμός.
Αλλά παρά το γεγονός οτι τα όρια είναι πολύ σημαντικά , είναι στην πραγματικότητα απλά.
Ας ξεκινήσω να γράψω μια συνάρτηση -ή μάλλον να ορίσω μια συνάρτηση
εδω.Μια σχετικά εύκολη συνάρτηση. Ας ορίσουμε f(x) ότι θα είναι (χ-1)/(χ-1)
Θα μου πείτε "Σαλ, εδώ έχω το ίδιο πράγμα και στον αριθμητή και στον παρονομαστή
Εάν έχω κάτι που το διαιρώ με τον ευατό του τότε θα ισούται με ένα!Δεν μπορώ να το απλοποιήσω αυτό σε f(x)=1 ;"
Και θα απαντήσω , "Λοιπόν , αυτό που λές είναι σχεδόν σωστό, η διαφόρά μεταξύ του f(x)=1 και αυτού εδω πέρα
είναι οτι αυτή η συνάρτηση δεν ορίζεται όταν χ=1. Ετσι - ας το γράψω εδώ - , εάν έχεις
f(1) , τι συμβαίνει; Στον αριθμητή έχεις 1-1 , που είναι , ας το γράψω
,στον αριθμητή έχεις 0 και στον παρονομαστή έχεις (1-1) , που είναι επίσης 0. Έτσι ότιδηποτε διαιρείται
με το 0 , συμπεριλαμβανομένου του 0/0 , δεν ορίζεται. Έτσι μπορέις να το απλοποιήσεις - μπορείς να πείς οτι
είναι το ίδιο με f(x)=1 , αλλά πρέπει να θέσεις τον περιορισμό οτι το χ δεν μπορεί να πάρει την τιμή 1.Τώρα , αυτό
και αυτό είναι ισοδύναμα. Και τα δύο θα είναι ίσα με 1 για όλα τα χ εκτός του χ =1.Αλλά
στο χ=1 , δεν ορίζεται.Και αυτό δεν ορίζεται και αυτό δεν ορίζεται.Όποτε πώς θα σχεδίαζα γαρφικά αυτη τη συνάρτηση;
Ας τη σχεδιάσω.. Αυτός είναι ο y=f(x) άξονας και αυτός εδώ είναι ο χ άξονας και ας πούμε οτι
αυτό το σημείο είναι το χ=1 και αυτό εδώ πέρα είναι το χ=-1, αυτό είναι το y=1 , ακριβώς εδώ μπορώ να βάλω το -1 αλλά δεν
χρειάζεται γιαυτήν την συνάρτηση , ας το σχεδιάσω. Όποτε ουσιαστικά
για κάθε χ εκτός του 1 , f(x)=1 . Άρα θα είναικάπως έτσι .. εκτός απο το ένα. Στο 1 , η f(x) δεν ορίζεται , έτσι
θα βάλω ένα μικρό κενό ακριβώς εδώ , αυτόν τον κύκλο , για να σημειώσω οτι αυτή η συνάρτηση
δεν ορίζεται - δεν ξέρουμε με τι ισούτε αυτή η συνάρτηση στο 1 , δεν την ορίσαμε .
Αυτός ο ορισμός της συνάρτησης δε μας λέει τί να κάνουμε στο 1 - είναι στην πραγματικότητα αόριστη όταν x=1.
Όποτε αυτή εδώ είναι η συνάρτηση και έτσι , ξανά , αν κάποιος σας ρωτούσε πόσο είναι το f(1) , θα του
και ας πούμε , αυτός είναι ο ορισμός της συνάρτησης , θα λέγατε χ=1. Μιά στιγμή , υπάρχει ένα κενό στην συνάρτηση μου
εδώ πέρα , δεν ορίζεται. Όποτε ας το ξαναγράψω.. Δε χρειάζεται αλλά θα το ξαναγράψω..
f(1) δεν ορίζεται. Αλλά τι θα λέγατε αν σας ρωτούσα ποια είναι τιμή προσεγγίζει η συνάρτηση
όταν χ=1; Και τώρα αρχίζουμε να μπαίνουμε στην ιδέα του ορίου. Έτσι όταν το x πλησιάζει όλο και περισσότερο στο 1...
ποιά είναι ή τιμή της συνάρτησης;Για όλο αυτό το διάστημα , που πλησιάζει όλο και περισσότερο;
Απο την αριστερή πλευρά , όσο κοντά και να πάς στο 1 , αρκεί να μην είσαι στο 1, f(x) =1.
Εδώ πέρα απο την δεξιά πλευρά , έχεις το ίδιο πράγμα. Έτσι θα μπορούσατε να πείτε - και θα
εξοικειωθείτε όλο και περισσότερο όσο κάνουμε περισσότερα παραδείγματα - οτι το όριο
καθώς το x ( lim συντομογραφία του limit -> όριο) - καθώς το x πλησιάζει το 1 , της f(x) είναι ίσο...
Όσο πλησιάζουμε , μπορούμε να φτάσουμε υπερβολικά πλύ κοντά στο 1 , αρκεί να μην είμαστε ακριβώς στο 1...
Και η συνάρτησή μας θα είναι ίση με 1 , πλησιάζει όλο και περισσότερο στο 1,
είναι στην ουσία στο1 όλη την υπόλοιπη ώρα. Έτσι σ';υτή την περίπτωση μπορούμε να πούμε οτι το όριο καθώς το x πλησιάζει στο 1 της f(x)
είναι 1. Ακόμια μια φορά , έχει φανταστική σημειογραφία , απλά λέμε , " Κοίτα , ποιά τιμή πλησιαζει η συνάρτηση
καθώς το x πλησιάζει όλο και περισσότερο στο 1;"
Ας κάνω άλλο ένα παράδειγμα , με καμπύλη , για να καταλάβετε τη γενική ιδέα.
Ας πούμε ότι έχοω μια συνάρτηση f(x) - για περισσότερη ποικιλία ας την ονομάσω g(x).
Ας πούμε οτι έχουμε την g(x) ίση με - Μπορώ να την ορίσω , μ'αυτό τον τρόπο, μπορώ να τη ορίσω σαν x²
όταν το χ δεν είναι ίσο με 2 και ας πούμε οτι όταν χ=2 , είναι ίση με 1. Έτσι ακόμη μια φορά , ενδιαφέρουσα εξίσωση
όπως θα δείτε , δεν είναι τελείως συνεχόμενη. Έχει μια ασυνέχεια. Ας την σχεδιάσω.
Έτσι , αυτός είναι ο y=f(x) άξονας , αυτός εδώ είναι ο x άξονάς μου. Ας πούμε ότι αυτό είναι το x=1, αυτό είναι χ=2,
αυτό είναι -1 , αυτό είναι -2...Παντού εκτός απο χ=2 , είναι ίση με x². Ας το ζωγραφίσω έτσι,
,θα είναι μια παραβολή , κάπως έτσι... Θα είναι κάπως έτσι..
Ας σχεδιάσω μια καλύτερη εκδοχή της παραβολής. Θα μοιάζει κάπως έτσι , όχι και η καλύτερη
παραβολή στη ιστορία σχεδιασμού παραβολών, αλλά νομίζω καταλαβαίνεται πως φαίνεται μια παραβολή
, ελπίζω. Πρέπει να είναι συμμετρική. Ας την ξανασχεδιάσω , γιατί είναι κάπως άσχημη.
Έτσι φαλινεται καλύτερα , ορίστε. Εντάξει.
Τώρα , αυτή θα έπρεπε να είναι η γραφική παράσταση του x² , αλλά δεν είναι x² όταν το χ=2,
έχουμε μια μικρή ασυνέχεια εδώ , οπότε θα σημειώσω ένα κενό εδώ πέρα,
γιατ ότνα x=2 , η συνάρτηση είναι ίση με 1.
Δε θα τα ζωγραφίσω με την ίδια κλίμακα. Στο γράφημα της f(x)=x² αυτό θα είναι 4 , αυτό 2,
αυτό θα είναι 1 , αυτό θα είναι 3.Έτσι για χ=2 , η συνάρτηση μας είναι ίση με 1.
Αυτή είναι μια περίεργη συνάρτηση , αλλά μπορούμε να την ορίσουμε με αυτό τον τρόπο , μπορούμε να ορίσουμε την συνάρτηση
όπως θέλουμε.Έτσι , προσέξτε , είναι σαν την γραφική παράσταση του f(x)=x² εκτός όταν είσαι στο 2,
έχει αυτό το κενό , γιατί δεν χρησιμοποιείς το "g(x)=x² όταν χ=2", παίρνεις το g(x)=1.
Έαν τόση ώρα έλεγα f(x) , ζητώ συγγνώμη.
Χρησιμοποιούμε το g(x)=1, οπότε ακριβώς στο 2 , πέφτει κάτω στο 1 και μετά συνεχίζει πάνω στην x².
Οπότε , αν έπρεπε να υπολογίσω την συνάρτηση g(2) ,
, τότε , ασ δούμε τον ορισμό. Ένταξει όταν χ=2 , χρησιμοποιώ αυη εδώ την περίπτωση..
και μου λέει οτι θα έιναι ίση με 1. Ας απάντήσουμε τώρα μια πιο ενδιαφέρουσα ερώτηση , ή πιθανόν μια
ενδιαφέρουσα ερώτηση. Ποιό είναι το όριο, καθώς το x πλησιάζει το 2 , της g(x). Πάλι η περίεργη σημειολογία αλλά
ρωτάει κάτι πολυ πολύ απλό. Λέει , " καθώς το χ πλησιάζει όλο και περισσότερο στο 2...
όσο πλησιάζεις όλο και περισσότερο - και αυτός δεν είναι πολύ επίσημος ορισμός, αυτό θα το κάνουμε σε επόμενα βιντεο -
καθώς το χ πλησιάζει στο 2 , ποια τιμή προσεγγίζει η g(x) ; Έτσι αν πάρεις 1.9 και μετά 1.999, και μετά 1.999999
και μετά 1.99999999 , ποια τιμή ππλησιάζει η g(x); Εάν πλησιάζαμε απο τη θετική πλευρά,
ας πούμε 2.1 , ποια θα είναι η g(2.1);Ποιά θα είναι η g(2.1);
Ποια τιμή προσεγγίζει καθώς πλησιάζουμε όλο και περισσότερο
Και μπορείται να το δείτε γραφικά , ζωγραφίζοντας τη γαρφική παράσταση. Καθώς η g πλησιάζει όλο και πιο κοντά στο 2...
Και αν την ακολοθοήσουμε κατά μήκος της γραφικής παράστασης , θα δούμε οτι πλησιάζουμε 4,
παρα το γεγονός ότι η συνάρτηση δεν είναι εκεί - πέφτει στο 1 - το όριο της g(x) όσο
το χ πλησιάζει το 2 είναι ίσο με 4. Μπορείται επίση να το υπολογίσετε αριθμητικά με ένα κομπιουτεράκι..
Και θα το κάνω , γιατί θα είναι ενδιαφέρον. Ας ανοίξω ένα κομπιουτεράκι ..
Ας πάρω το έμπιστό μου ΤΙ-85. Να το κομπιουτεράκι μου. Και μπορείς αριθμητικά να πείς,
εντάξει , που πλησιάζει όσο το χ πλησιάζει χ=2. Ας δοκιμάσουμε το 1.9. Για χ=1.9 , θα χρησιμοποιήσω την πάνω περίπτωση
εδω πέρα. Έτσι θα έχεις 1.9² και είναι ίσο με 3.61.
Τι παίρνεις αν πλησιάσεις περισσότερο στο 2; Ας βάλω 1.99 και ακόμα μια φορά το τεραγωνίζω,
όποτε είμαι στο 3.96. Τι γίνεται αν βαλω 1.999 στο τετράγωνο;
Είναι 3.996. Προσέξτε οτι πλησιάζω όλο και περισσότερο στο σημείο μας.
Εάν πλησιάσω παρα πολυ - 1.999999999999²; Πόσο είναι ; Είναι..
δεν είναι ακριβώς 4 - το κομπιουτεράκι τα στρογγυλοποιεί - γιατι παίρνουμε ένα αριθμό πολύ πολύ
πολύ κοντά στο 4.Και μπορούμε να το δοκιμάσουμε και απο τη θετική πλευρά επίσης
και πρέπει να είναι το ίδιο νούμερο καθώς πλησιάζουμε απο την κάτω μεριά και απο τη πάνω μεριά
Έτσι αν δοκιμσουμε 2.1², παίρνουμε 4.4....
Ας προχωρήσω παρκάτω μερικά βήματα..
2.0001². Αυτό είναι πολύ πιο κοντά στο 2 τώρα. Τώρα πλησιάζουμε περισσότερο στο 4.
Έτσι όσο περισσότερο πλησιάζουμε στο 2 , φαίνεται οτι είμαστε κοντά στο 4.
Έτσι για μια κόμη φορά αυτός είναι ένα αριθμητικός τρόπος για να καταλάβουμε το όριο όσο το χ πλησιάζει το 2 και απο τις δύο κατευθύνσεις
της g(x)- αν και ακριβώς στο 2 , η συνάρτηση παίρνει την τιμή 1 , γιατί είναι ασυνεχής -
το όριο καθώς προσεγγίζουμε το 2 είναι όλο και πιο κοντά στο 4.