Tip:
Highlight text to annotate it
X
Μιγαδικοί αριθμοί
Είμαι ο Adrien Douady
Το έργο όλης της ζωής μου στα μαθηματικά επικεντρώθηκε στους μιγαδικούς αριθμούς.
Οι συνεισφορές μου συντέλεσαν στην πρόοδο της αλγεβρικής γεωμετρίας
και της θεωρίας δυναμικών συστημάτων.
Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν μεγάλη ιστορία.
Βλέπετε, στα αριστερά, τον Tartaglia και τον Cardano,
πρωτοπόρους μαθηματικούς, που έζησαν στην Αναγέννηση.
Στα δεξιά, ο Cauchy και ο Gauss,
που θεμελίωσαν την θεωρία, κατά τον 19ο αιώνα.
Οι μιγαδικοί αριθμοί δεν είναι τόσο περίπλοκοι
όσο μπορεί να πιστεύετε.
Αρχικά αποκαλούνταν «αδύνατοι αριθμοί»
και ακόμα και σήμερα μερικές φορές αποκαλούνται «φανταστικοί».
Αλήθεια, χρειάζεται λίγη φαντασία...
παρ’ όλ’ αυτά σήμερα αυτοί οι αριθμοί απαντώνται παντού στην επιστήμη
και δεν είναι τόσο μυστηριώδεις πια.
Συγκεκριμένα, χάρη σ’ αυτούς, μπορούμε να κατασκευάσουμε
πανέμορφα φράκταλ,
με τα οποία ασχολήθηκα πολύ.
Έβγαλα ακόμα και ταινία, με τίτλο «Η δυναμική του λαγού»,
που ήταν μια από τις πρώτες ταινίες στα μαθηματικά.
Ας αρχίσω εξηγώντας σας τους μιγαδικούς αριθμούς στον πίνακα.
Οι μαθηματικοί τρελαίνονται να γράφουν με κιμωλία...
Θα προσέξετε ότι ο χάρακας και το μοιρογνωμόνιό μου
συμπεριφέρονται λίγο παράξενα μερικές φορές...
Ας σχεδιάσουμε μια αριθμημένη γραμμή στον πίνακα.
Μια από τις πιο ωραίες ιδέες στα μαθηματικά
είναι να συνδέσει κανείς τη γεωμετρία με την άλγεβρα.
Αυτή είναι η αρχή της αλγεβρικής γεωμετρίας.
όπως ακριβώς προσθέτουμε αριθμούς, έτσι μπορούμε να προσθέσουμε και σημεία.
Εδώ έχουμε ένα κόκκινο και ένα μπλε σημείο.
Ας τα προσθέσουμε.
Παίρνουμε το πράσινο σημείο! Ένα συν δύο ίσον τρία!
Όταν το κόκκινο και το μπλε σημείο κινούνται,
το πράσινο, που είναι το άθροισμά τους, πρέπει να κινηθεί κι αυτό.
Πιο ενδιαφέρων είναι ο πολλαπλασιασμός σημείων.
Για να δούμε τον πολλαπλασιασμό με -2 για παράδειγμα.
Μετατρέπει το σημείο 1 στο σημείο -2 φυσικά.
Και, αν πολλαπλασιάσουμε ξανά με -2,
πρέπει να κάνουμε το ίδιο:
να αλλάξουμε πλευρά ως προς την αρχή του άξονα
και να διπλασιάσουμε την απόστασή μας απ’ αυτόν.
Παίρνουμε 4, φυσικά.
αν πολλαπλασιάσουμε δύο φορές με το -2,
έχουμε πολλαπλασιάσει με το 4.
Ο πολλαπλασιασμός με το -1 είναι πολύ εύκολος.
Κάθε σημείο πηγαίνει στο συμμετρικό του
ως προς την αρχή,
με άλλα λόγια κάνουμε μισή στροφή,
μια στροφή 180 μοιρών, αν θέλετε.
Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με τον εαυτό του,
το αποτέλεσμα είναι πάντα θετικό.
Για παράδειγμα αν πολλαπλασιάσουμε με -1 κάνουμε μισή στροφή,
οπότε αν το κάνουμε ακόμα μια φορά,
επιστρέφουμε στο αρχικό σημείο!
Γι’ αυτό -1 επί -1 είναι ίσο με +1
Αρκετά απλό.
Βλέπετε, για παράδειγμα, ότι ο πολλαπλασιασμός με το -1
στέλνει το 2 στο -2
και ότι αν πολλαπλασιάσουμε ακόμα μια φορά με -1
επιστρέφουμε στο 2.
Προφανές δεν είναι;
Οπότε, δεν υπάρχει αριθμός που,
αν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει -1.
Ή θα μπορούσαμε να πούμε ότι το –1 δεν έχει τετραγωνική ρίζα.
Αλλά, βεβαίως, υποτιμούμε την εφευρετικότητα των μαθηματικών!
Στην αρχή του 19ου αιώνα ο Robert Argand είχε μια πολύ καλή ιδέα.
Σκέφτηκε: «Αφού ο πολλαπλασιασμός με το –1 είναι μια στροφή 180 μοιρών,
η τετραγωνική του ρίζα θα είναι μια στροφή μισή από αυτή: 90 μοίρες.
Αν κάνω δύο στροφές του ενός τετάρτου τη μία μετά την άλλη,
θα έχω κάνει μισή στροφή!
Το τετράγωνο μιας στροφής του ενός τετάρτου είναι μισή στροφή, δηλαδή –1.»
Είναι εύκολο άμα το ξέρεις!
O Argand αποφάσισε λοιπόν ότι η τετραγωνική ρίζα του -1
απεικονίζεται σε ένα σημείο που είναι το είδωλο του 1 περιστρεμμένο κατά 90 μοίρες.
Αυτό, όμως, φυσικά, μας αναγκάζει να φύγουμε από την οριζόντια ευθεία μας,
αφού μόλις συμφωνήσαμε να συσχετίσουμε έναν αριθμό
με ένα σημείο στο επίπεδο που βρίσκεται εκτός της ευθείας!
Επειδή αυτό είναι λίγο παράξενο,
λέμε ότι αυτό το σημείο, η τετραγωνική ρίζα του –1, είναι ένας φανταστικός αριθμός
και οι μαθηματικοί το συμβολίζουν με i.
Αλλά από τη στιγμή που βρήκαμε το θάρρος να φύγουμε απ’ τη γραμμή,
όλα τ' άλλα είναι εύκολα.
Μπορούμε να απεικονίσουμε το 2i, 3i, κ.ο.κ....
Κάθε σημείο στο επίπεδο αντιπροσωπεύει έναν μιγαδικό αριθμό
και, αντιστρόφως, κάθε μιγαδικός αριθμός ορίζει ένα σημείο στο επίπεδο.
Τα σημεία στο επίπεδο γίνονται από μόνα τους αριθμοί!
Οι αριθμοί αυτοί μπορούν να προστίθενται, όπως και οι συνήθεις αριθμοί.
Κοιτάξτε το κόκκινο σημείο, που είναι το 1+2i.
Ας προσθέσουμε 3+i, το οποίο είναι το μπλε σημείο.
Ε, λοιπόν, τα προσθέτουμε όπως κάνουν τα παιδιά στο σχολείο
και παίρνουμε 4+3i.
Γεωμετρικά, αυτό είναι απλώς πρόσθεση διανυσμάτων.
Βλέπετε ότι η πρόσθεση μιγαδικών δεν αποτελεί πρόβλημα.
Πιο ενδιαφέρον είναι
το ότι οι αριθμοί αυτοί μπορούν και να πολλαπλασιαστούν
ακριβώς σαν τους πραγματικούς αριθμούς.
Για να δούμε
Ξέρουμε πώς να πολλαπλασιάσουμε έναν μιγαδικό με το 2, για παράδειγμα.
Δύο φορές το 1+i, μας δίνει 2+2i.
Γεωμετρικά, ο πολλαπλασιασμός με το 2 είναι εύκολος:
απλά μεγεθύνουμε επί 2:
αν διπλασιάσουμε το κόκκινο σημείο, παίρνουμε το πράσινο σημείο!
Ούτε ο πολλαπλασιασμός με το i είναι δύσκολος
αφού ξέρουμε ότι το i αντιστοιχεί με στροφή ενός τετάρτου.
Για να πολλαπλασιάσουμε το 3+i με το i,
πρέπει απλώς να το περιστρέψουμε 90 μοίρες.
Παίρνουμε -1+3i.
Δεν είναι και τόσο περίπλοκοι οι μιγαδικοί!
Τέλος, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μιγαδικούς
χωρίς κανένα πρόβλημα.
Ας προσπαθήσουμε, για παράδειγμα, να πολλαπλασιάσουμε το 2+1,5i με το -1+2,4i.
Προχωρούμε όπως συνήθως,
πρώτα πολλαπλασιάζουμε με 2 και μετά με 1,5i και μετά προσθέτουμε τα αποτελέσματα.
οπότε έχουμε:
«Δύο επί κτλ...»
Δηλαδή
-2 + 4,8 i – 1,5 i + 3,6 i επί i
Αλλά θυμηθείτε ότι i στο τετράγωνο ισούται με -1,
αφού γι’ αυτόν το λόγο το εφηύραμε!
Αυτό μας δίνει:
-2 +4,8i κτλ...,
Για να τα συμμαζέψουμε λίγο. Έχουμε
–2 –3,6 + 4,8 i – 1,5 i,
δηλαδή
-5,6 + 3,3 i.
Ορίστε, τώρα ξέρουμε να πολλαπλασιάζουμε μιγαδικούς
μ’ άλλα λόγια, μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε σημείο στο επίπεδο!
Αυτό είναι φανταστικό!
Νομίζαμε ότι το επίπεδο είναι δισδιάστατο
αφού χρειαζόμασταν δύο αριθμούς για να περιγράψουμε ένα σημείο
και τώρα σας λέω ότι μας αρκεί ένας αριθμός!
Βέβαια, αλλάξαμε τους αριθμούς μας
και τώρα δουλεύουμε με μιγαδικούς αριθμούς!
Είναι μάλλον μια καλή στιγμή για να ορίσουμε δύο έννοιες,
το μέτρο και το όρισμα ενός μιγαδικού.
Το μέτρο ενός μιγαδικού z
είναι απλώς η απόστασή του από την αρχή των αξόνων.
Ας χρησιμοποιήσουμε το χάρακα για να μετρήσουμε το μέτρο του κόκκινου σημείου
το οποίο είναι το 2+1,5i
Για να δούμε, είναι 2,5.
Το μέτρο του 2+1,5 i είναι λοιπόν 2,5.
Για το μπλε σημείο μετράω 2,6.
Και για το πράσινο,
που είναι το γινόμενο των άλλων δύο
έχουμε 6,5.
Κανόνας: το μέτρο του γινομένου δύο μιγαδικών
είναι απλώς το γινόμενο των μέτρων τους.
Το όρισμα ενός μιγαδικού
μετράται από τη γωνία ανάμεσα στο άξονα των τετμημένων
και την ευθεία που ενώνει το σημείο με την αρχή των αξόνων.
Εδώ, για παράδειγμα, το όρισμα του κόκκινου μιγαδικού
είναι 36,8 μοίρες.
Το όρισμα του μπλε σημείου είναι 112,6 μοίρες.
Και για το γινόμενο, το πράσινο σημείο, έχουμε 149,4 μοίρες:
αυτό είναι το άθροισμα των ορισμάτων των δύο αριθμών...
Όταν πολλαπλασιάζουμε δύο μιγαδικούς,
τα μέτρα πολλαπλασιάζονται και τα ορίσματα προστίθενται.
Ας τελειώσουμε την πρώτη μας συνάντηση με τους μιγαδικούς
με μια στερεογραφική προβολή.
Θεωρείστε μια σφαίρα που εφάπτεται στον πίνακα στην αρχή των αξόνων.
Χρησιμοποιώντας στερεογραφική προβολή
κάθε σημείο του πίνακα,
δηλαδή, κάθε μιγαδικός αριθμός,
αντιστοιχεί σε ένα σημείο πάνω στη σφαίρα.
Μόνο ο βόρειος πόλος της σφαίρας
εννοώ ο πόλος από τον οποίον προβάλω
δεν έχει μιγαδικό που να συσχετίζεται με αυτόν.
Λέμε ότι αντιστοιχεί στο άπειρο.
Οπότε, οι μαθηματικοί λένε ότι η σφαίρα
είναι μια μιγαδική προβολική γραμμή.
Γιατί γραμμή;
Γιατί χρειαζόμαστε μόνο έναν αριθμό για να ορίσουμε τα σημεία της!
Γιατί μιγαδική;
Γιατί αυτός ο αριθμός είναι μιγαδικός.
Γιατί προβολική;
Γιατί προσθέσαμε ένα σημείο στο άπειρο, χρησιμοποιώντας προβολή.
Παράξενοι δεν είναι οι μαθηματικοί
που προσπαθούν να μας πουν ότι η σφαίρα είναι μια ευθεία γραμμή;