Tip:
Highlight text to annotate it
X
Ινώδης απεικόνιση... συνέχεια
Ας επιστρέψουμε στη δισδιάστατη σφαίρα και στους παράλληλούς της.
Πάνω από κάθε σημείο στη δισδιάστατη σφαίρα,
θα πρέπει να φανταζόμαστε έναν κύκλο Hopf.
Κοιτάξτε τι βρίσκεται πάνω από έναν παράλληλο της S2,
τον ισημερινό, για παράδειγμα.
Ορίστε τι βρίσκεται πάνω από έναν άλλο παράλληλο,
ο οποίος κινείται νότια.
Γιατί φαίνεται ο δακτύλιος να λεπταίνει;
Γιατί πάνω από το νότιο πόλο
υπάρχει φυσικά μόνο ένας κύκλος.
Και πάνω από το βόρειο πόλο βλέπουμε μόνο μια ευθεία γραμμή,
που στην πραγματικότητα είναι ένας κύκλος που περνάει από το άπειρο.
Αυτή είναι η κόκκινη γραμμή!
Λοιπόν, ας τα περιστρέψουμε όλα αυτά τώρα.
Περιστροφές, ναι, αλλά
περιστροφές στον τετραδιάστατο χώρο.
Για να είμαι ειλικρινής, πρέπει να σας πω ότι κάποιες από αυτές τις εικόνες
ήταν ήδη γνωστές πολύ πριν από μένα.
Η ύπαρξη τεσσάρων οικογενειών κύκλων στον δακτύλιο
συνήθως αποδίδεται στον Μαρκήσιο de Villarceau
αλλά βρίσκουμε και νωρίτερα στοιχεία,
για παράδειγμα σε ένα γλυπτό στον καθεδρικό του Στρασβούργου.
Ας πάρουμε έναν δακτύλιο εκ περιστροφής:
αυτό είναι η επιφάνεια που διαγράφει ένας κύκλος
που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα στο επίπεδό του.
Κοιτάξτε την τομή του δακτυλίου με ένα επίπεδο.
Και προσέξτε πώς επιλέγω το επίπεδο.
Λέμε ότι είναι δισεφαπτόμενο στο δακτύλιο,
απλώς επειδή είναι εφαπτόμενο σε δύο σημεία.
Τώρα κοιτάξτε προσεκτικά:
το επίπεδο τέμνει τον δακτύλιο σε δύο τέλειους κύκλους.
Αυτό είναι το θεώρημα του Villarceau:
ένα επίπεδο δισεφαπτόμενο στον δακτύλιο τον τέμνει σε δύο κύκλους.
Φυσικά, δεν υπάρχει μόνο ένα δισεφαπτόμενο.
Ορίστε ακόμα ένα, που τέμνει τον δακτύλιο σε δύο άλλους κύκλους Villarceau.
Αυτό μπορούμε να το κάνουμε για όλα τα δισεφαπτόμενα επίπεδα:
πρέπει απλώς να περιστρέψουμε γύρω από τον άξονα συμμετρίας.
Βλέπετε, σε κάθε σημείο ενός δακτυλίου εκ περιστροφής
μπορούμε να σχεδιάσουμε τέσσερις κύκλους,
παρμένους από τις κατάλληλες τομές.
Ο ένας είναι ένας παράλληλος,
ο δεύτερος ένας μεσημβρινός,
μετά έχουμε τον πρώτο κύκλο Villarceau
και μετά τον δεύτερο.
Και αφού μπορούμε να το κάνουμε αυτό για κάθε σημείο του δακτυλίου,
βλέπουμε ότι ο δακτύλιος καλύπτεται από τέσσερις οικογένειες κύκλων.
Δύο κύκλοι της ίδιας οικογένειας δεν τέμνονται.
Ένας μπλε κύκλος τέμνει έναν κόκκινο σε έναν μόνο σημείο.
Ένας κίτρινος και ένας άσπρος τέμνονται σε δύο σημεία:
αυτοί είναι οι κύκλοι Villarceau.
Κοιτάξτε καλά τους κίτρινους κύκλους:
είναι κύκλοι Hopf!
Θυμάστε που είδαμε τι βρίσκεται
πάνω από έναν παράλληλο σε μια ινώδη απεικόνιση;
Είδαμε έναν δακτύλιο καλυμμένο με συνδεόμενους κύκλους,
σαν κι αυτόν τον δακτύλιο με τους κίτρινους κύκλους.
Και οι άσπροι κύκλοι;
Ε, αυτοί είναι οι ίνες μιας άλλης απεικόνισης Hopf!
...την κατοπτρική της πρώτης.
Για να τελειώσουμε τη βόλτα μας,
θα πάρουμε έναν δακτύλιο εκ περιστροφής,
με τις τέσσερις οικογένειες κύκλων του.
Φανταστείτε τον μέσα στην τρισδιάστατη σφαίρα,
περιστρέψτε τον μέσα στην τρισδιάστατη σφαίρα,
και τέλος προβάλλετέ τον στερεογραφικά
στον τρισδιάστατο χώρο.
Μ’ αυτόν τον τρόπο, παίρνουμε επιφάνειες
που επίσης καλύπτονται από τέσσερις οικογένειες κύκλων:
τα ονομαζόμενα κυκλοειδή Dupin.
Μερικές φορές, όταν ο δακτύλιος περνάει μέσα από τον πόλο προβολής,
η επιφάνεια γίνεται άπειρη...
Σε αυτήν την κίνηση, οι δύο πλευρές μπορούν να ανταλλάξουν θέση.
Η εσωτερική πλευρά του δακτυλίου είναι ροζ, και η εξωτερική πράσινη.
Μια απλή περιστροφή στην τέταρτη διάσταση και ...μπίνγκο!
το πράσινο γίνεται ροζ και το ροζ πράσινο.
Δεν είναι υπέροχο;