Tip:
Highlight text to annotate it
X
Η τέταρτη διάσταση
Το όνομά μου είναι Ludwig Schläfli.
Είμαι ένας Ελβετός γεωμέτρης.
Έζησα τον 19ο αιώνα
και θα σας ανοίξω την πόρτα προς την τέταρτη διάσταση!
Χωρίς να θέλω να καυχηθώ, ήμουν οραματιστής.
Ήμουν από τους πρώτους που κατάλαβαν
ότι χώροι με μεγάλους αριθμούς διαστάσεων υπάρχουν στ’ αλήθεια
και ότι η γεωμετρία τους μπορεί να μελετηθεί.
Αν επίπεδα πλάσματα που ζουν σε ένα επίπεδο
μπορούν να καταλάβουν τρισδιάστατα πολύεδρα
τότε γιατί κι εμείς να μην μπορούμε να καταλάβουμε πολύεδρα στην 4η διάσταση;
Ένα από τα κύρια επιτεύγματά μου
ήταν η περιγραφή όλων των κανονικών πολυέδρων της 4ης διάστασης.
Τι είναι η τέταρτη διάσταση;
Πολλά έχουν γραφτεί πάνω στο θέμα.
Οι συγγραφείς επιστημονικής φαντασίας ποτέ δεν κουράζονται να μιλάν γι’ αυτό!
Θα σας εξηγήσω κάποια πράγματα στον πίνακα.
Θα δείτε ότι αυτός ο πίνακας έχει λίγη μαγεία μέσα του.
Το σημαντικό είναι να είστε έτοιμοι να ξεχάσετε
τον γνώριμο κόσμο
και να φανταστείτε έναν κόσμο
τον οποίον τα μάτια μας και οι αισθήσεις μας δεν μπορούν να αντιληφθούν άμεσα.
Θα πρέπει να φανούμε έξυπνοι, όπως ήταν οι σαύρες.
Θα σκαρφαλώσω σε ένα ψηλό μέρος,
το οποίο, δυστυχώς, εσείς δεν μπορείτε να δείτε
και θα προσπαθήσω να σας εξηγήσω τι βλέπω από εκεί.
Αλλά πριν ξεκινήσουμε θα τραβήξω μια ευθεία στον πίνακα.
Ας ορίσω την αρχή εδώ.
Κάθε σημείο σ’ αυτήν τη γραμμή
μπορεί να οριστεί από την απόστασή του από την αρχή,
με αρνητικό πρόσημο αν είναι στ’ αριστερά
και θετικό αν είναι στα δεξιά.
Συνήθως, ο αριθμός αυτός συμβολίζεται με x
και ονομάζεται τετμημένη.
Επειδή η θέση ενός σημείου στη γραμμή
μπορεί να οριστεί με έναν μόνο αριθμό,
λέμε ότι η γραμμή είναι μονοδιάστατη.
Τώρα, τραβάω κι έναν δεύτερο άξονα,
κάθετο στον πρώτο.
Κάθε σημείο στο επίπεδο του πίνακα
ορίζεται τώρα επαρκώς από δύο αριθμούς,
που συνήθως συμβολίζονται με x και y : η τετμημένη και η τεταγμένη.
Το επίπεδο είναι δισδιάστατο.
Αν έπρεπε να εξηγήσετε σε όντα που ζουν πάνω σε μια γραμμή
τι σημαίνει σημείο στο επίπεδο, το οποίο τους είναι άγνωστο,
θα μπορούσατε απλώς να πείτε:
«ένα σημείο στο επίπεδο είναι απλώς ένα ζεύγος αριθμών.»
Ας πάμε στην τρίτη διάσταση.
Η κιμωλία τώρα γράφει στον αέρα
και τραβάει τον τρίτο άξονα, κάθετο στους δύο προηγούμενους.
Ένα σημείο στο χώρο ορίζεται με τρεις αριθμούς:
x, y και z.
Θα μπορούσε κανείς να πει στα ερπετά
που είναι περίεργα να μάθουν για τον κόσμο μας:
«ένα σημείο στο χώρο είναι απλώς τρεις αριθμοί.»
Ας πάμε στην τέταρτη διάσταση.
Θα μπορούσε κανείς να δοκιμάσει να τραβήξει έναν τέταρτο άξονα
κάθετο στους άλλους, αλλά αυτό είναι αδύνατο!
Οπότε, πρέπει να κάνουμε κάτι άλλο.
Βεβαίως, θα μπορούσαμε απλώς να πούμε
ότι ένα σημείο στην τέταρτη διάσταση
δεν είναι παρά 4 αριθμοί: x,y,z,t.
Αυτό δεν μας βοηθάει πολύ!
Παρά τις δυσκολίες, θα προσπαθήσουμε να πάρουμε
μια ιδέα γι’ αυτή τη γεωμετρία.
Σαν πρώτη προσπάθεια να καταλάβουμε
θα προχωρήσουμε με την αναλογία.
Αυτό είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα...
και ένα ισόπλευρο τρίγωνο...
και τέλος ένα κανονικό τετράεδρο.
Ο μαγικός μας πίνακας μας επιτρέπει να ζωγραφίζουμε στον αέρα.
Πώς μπορούμε να συνεχίσουμε στις 4 διαστάσεις;
Παρατηρήστε ότι το ευθύγραμμο τμήμα, το τρίγωνο και το τετράεδρο
έχουν 2, 3 και 4 κορυφές αντιστοίχως.
Μπορούμε λοιπών να συνεχίσουμε με 5 κορυφές!
Ας το κάνουμε.
Στο ευθύγραμμο τμήμα, στο τρίγωνο και στο τετράεδρο
μια ακμή συνδέει κάθε ζεύγος κορυφών.
Οπότε πρέπει να συνδέσουμε τις 5 κορυφές ανά δύο.
Μετράμε
μια ακμή
δύο, τρεις, τέσσερις, 5, 6, 7, 8, 9, και 10 ακμές.
Στο τετράεδρο
υπάρχει μια τριγωνική έδρα για κάθε τριάδα κορυφών.
Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο και έχουμε
2, 3, ..., 10 έδρες.
Αν όμως συνεχίσουμε να ακολουθούμε την αναλογία,
θα πρέπει να προσθέσουμε τετραεδρικές πλευρές
για κάθε τετράδα κορυφών
Υπάρχουν 5 τέτοιες.
Ορίστε! Κατασκευάσαμε ένα τετραδιάστατο αντικείμενο.
Θα το ονομάσουμε «Simplex»!
Ας το στρέψουμε λίγο στο χώρο
όπως κάναμε με το τετράεδρο.
Φυσικά, θα πρέπει να φανταστείτε το simplex να περιστρέφεται
σε έναν τετραδιάστατο χώρο,
αυτό που βλέπεται είναι μόνο η προβολή του στον πίνακα.
Αυτό που περιπλέκει λίγο τα πράγματα
είναι το ότι οι έδρες μπερδεύονται και τέμνουν η μία την άλλη.
Χρειάζεται λίγη εξάσκηση για να μπορέσουμε να δούμε στην 4η διάσταση.
Θα πάρουμε το simplex,
που βρίσκεται στον τετραδιάστατο χώρο
και θα το μετακινήσουμε σταδιακά έτσι ώστε διαφορετικές τομές του
βρίσκονται στον «δικό μας» τρισδιάστατο χώρο.
Κατά τον ίδιο τρόπο που τα ερπετά
έβλεπαν ένα πολύγωνο, να εμφανίζεται και να εξαφανίζεται
εμείς θα δούμε ένα τρισδιάστατο πολύεδρο
να εμφανίζεται, να αλλάζει σχήμα και να εξαφανίζεται.
Αυτό είναι το simplex που περνάει μέσα από τον τρισδιάστατο χώρο μας.
Και τώρα θα συναντήσουμε
περισσότερα τετραδιάστατα πολύεδρα
να περνάνε μέσα από τον τρισδιάστατο κόσμο μας.
Αυτός είναι ο υπερκύβος, ένα μέλος της οικογένειας που ξεκινάει με
το ευθύγραμμο τμήμα, και συνεχίζει με το τετράγωνο και τον κύβο.
Πρέπει να παραδεχθείτε ότι το να καταλάβει κανείς τη γεωμετρία
με αυτήν τη μέθοδο των τομών είναι δυσκολούτσικο...
Ανακάλυψα τα ανάλογα του εικοσάεδρου και του δωδεκάεδρου.
Έχουν περίπλοκα ονόματα
αλλά εγώ θα τα λέω απλώς 120-κελί και 600-κελί
επειδή το πρώτο έχει 120 πλευρές και το δεύτερο 600.
Κοιτάξτε το 120-κελί, περνάει μέσα από τον χώρο μας.
Και εδώ έχουμε το 600-κελί.
Φυσικά, όταν λέω ότι ένα τετραδιάστατο πολύεδρο έχει 600 πλευρές,
εννοώ τρισδιάστατες πλευρές.
Ναι, αυτές οι 600 πλευρές είναι 600 τετράεδρα.
Όσον αφορά το 120-κελί, αποτελείται από 120 δωδεκάεδρα!
Σε λίγο θα δούμε πώς μπορούμε να τα γνωρίσουμε καλύτερα.
Για να παρατηρήσουμε αυτά τα τετραδιάστατα αντικείμενα
με τα τρισδιάστατα μάτια μας,
μπορούμε να δούμε τις σκιές τους...
Τα αντικείμενα βρίσκονται ακόμα στον τετραδιάστατο χώρο
αλλά προβάλλονται στο δικό μας τρισδιάστατο
ακριβώς όπως ένας ζωγράφος προβάλει ένα τοπίο στον καμβά .
Ήδη το κάναμε αυτό με το simplex.
Εδώ είναι ο υπερκύβος.
Βεβαίως, περιστρέφεται
για να παρατηρήσουμε όλες τις λεπτομέρειές του.
Παρατηρήστε για παράδειγμα ότι ο υπερκύβος έχει 16 κορυφές.
Εδώ είναι κάτι καινούριο.
Είναι η ομορφότερη απ’ τις ανακαλύψεις μου.
Ένα αντικείμενο που ονομάζω 24-κελί
και δεν έχει κανένα απολύτως ανάλογο στις 3 διαστάσεις.
Είναι ένα καθαρά τετραδιάστατο κατασκεύασμα.
Είμαι πολύ περήφανος για την ανακάλυψή μου.
Κοιτάξτε πόσο όμορφο είναι! 24 κορυφές, 96 ακμές, 96 τρίγωνα και 24 οκτάεδρα.
Ένα πραγματικό διαμάντι!
Αυτή είναι η σκιά του 120-κελιού
σε όλο της το μεγαλείο!
Ένα αρκετά περίπλοκο μεγαλείο, θα συμφωνήσετε!
Ας μπούμε μέσα κι ας ρίξουμε μια ματιά στη δομή του.
Κοιτάξτε: 600 κορυφές, 1200 ακμές.
4 ακμές ξεκινούν από κάθε κορυφή
Μια τελείως κανονική δομή.
Όλες οι κορυφές, όλες οι ακμές παίζουν τον ίδιο ρόλο.
Κρίμα που η προβολή χαλάει τη συμμετρία.
Ας εξασκήσουμε τη φαντασία σας λίγο.
Φανταστείτε ένα αντικείμενο στον τετραδιάστατο χώρο
για το οποίο ένας τεράστιος αριθμός περιστροφών
μεταλλάσσει όλες αυτές τις κορυφές και τις ακμές.
Ο νικητής είναι... το 600–κελί!
Σαν ένα γιγαντιαίο μεγαλομόριο
με τις 720 ακμές του και 120 κορυφές του
και 12 ακμές να ξεκινάν από κάθε κορυφή.
Η εξερεύνησή μας στα τετραδιάστατα
πολύεδρα δεν θα σταματήσει εδώ
μιας και οι στερεογραφικές προβολές τους
θα μας δώσουν μια καλύτερη ιδέα για τη γεωμετρία τους.