Tip:
Highlight text to annotate it
X
JAMES GRIME: Σήμερα, θα μιλήσουμε για μία από τις
ερωτήσεις που δεχόμαστε συχνά στο Numberphile,
και η ερώτηση είναι -- λοιπόν, Brady, ποια είναι η ερώτηση;
BRADY HARAN: Η ερώτηση είναι γιατί το 0 παραγοντικό ισούται με 1.
JAMES GRIME: Σωστά!
Γιατί το 0 παραγοντικό ισούται με 1;
Οπότε, ας αρχίσουμε με μία σύντομη επανάληψη
του τι είναι το "παραγοντικό".
Για έναν ακέραιο αριθμό, ας επιλέξουμε τον αριθμό n--
n παραγοντικό, το οποίο γράφεται έτσι: n με ένα
θαυμαστικό.
Αυτό είναι ίσο με:
Πολλαπλασιάζεις όλους τους ακέραιους αριθμούς μικρότερους
ή ίσους με n.
Δηλαδή n επί n - 1, επί n - 2
επί --
και συνεχίζεις και κατεβαίνεις, και φτάνεις στο 3
επί 2 επί 1.
Γρήγορο παράδειγμα.
Ας υπολογίσουμε το 5 παραγοντικό.
5 επί 4 επί 3 επί 2 επί 1.
Και κάνεις αυτό.
Ισούται με 120.
OK.
Η ερώτηση που μας έγινε είναι πόσο κάνει 0 παραγοντικό.
Οπότε, ο τρόπος που απαντάς σε αυτό -- ένας από τους τρόπους που μπορείς να
απαντήσεις σε αυτό είναι "για να συμπληρωθεί το πρότυπο.
Ας συμπληρώσουμε το πρότυπο.
Αυτό το συγκεκριμένο πρότυπο, 4 παραγοντικό, είναι ίσο με 5
παραγοντικό, διαιρεμένο με 5.
Αν το δεις αυτό, αν πάρω το 5 παραγοντικό εδώ και διαιρέσω με
5, αυτό σημαίνει ότι αν βγάλεις το 5, τότε
καταλήγεις με 4 παραγοντικό.
Οπότε, 5 παραγοντικό διά 5, ή 120 διά 5
μας κάνει 24.
Που είναι το 4 παραγοντικό.
Το 3 παραγοντικό θα είναι 4 παραγοντικό διά 4.
Δηλαδή 24 διά 4.
Που μας κάνει 6.
Αυτή είναι η απάντηση για το 3 παραγοντικό.
2 παραγοντικό, 3 παραγοντικό διά 3, 6, το οποίο
μόλις υπολογίσαμε, διά 3, ισούται με 2.
1 παραγοντικό.
Το κάνω ξανά.
Είναι 2 παραγοντικό διά 2.
2 παραγοντικό είναι 2 διά 2.
Έχουμε 2 διά 2.
Αυτό ισούται με 1.
Τώρα, εδώ είναι που γίνεται συναρπαστικό.
Νιώθετε την προσμονή;
Οπότε, 0 παραγοντικό.
Θα συμπληρώσουμε το πρότυπο.
Το 0 παραγοντικό ισούται με 1 παραγοντικό διά 1.
1 παραγοντικό μας κάνει 1.
Είναι 1 διά 1 και αυτό ισούται με 1.
Οπότε, 0 παραγοντικό ισούται με 1.
Συμπληρώνεις το πρότυπο.
BRADY HARAN: Ποιος λέει ότι το πρότυπο πρέπει να είναι συμπληρωμένο;
Από πού προέρχεται αυτός ο κανόνας;
JAMES GRIME: Υποθέτω, δεν είναι απαραίτητο
ένα πρότυπο να ολοκληρώνεται.
Παρόλα αυτά, είναι ένα πρότυπο που ολοκληρώνεται.
Ας προσπαθήσω να το εξηγήσω αλλιώς.
BRADY HARAN: Άσε με να συνεχίσω το πρότυπο πρώτα.
Αυτό σημαίνει ότι το αρνητικό 1 παραγοντικό θα πρέπει να είναι
το επόμενο σε αυτή τη σειρά;
JAMES GRIME: Ας δούμε τι θα συμβεί.
Δεν είμαι σίγουρος τι θα συμβεί.
Ας προσπαθήσουμε.
Μείον 1 παραγοντικό.
Άρα, τι θα έχω;
0 παραγοντικό διά 0.
1 διά 0.
BRADY HARAN: Ω, διά 0.
JAMES GRIME: Χάλασες τα μαθηματικά, Brady.
Σταμάτα!
Άλλος τρόπος να εξηγήσουμε πόσο κάνει το 0 παραγοντικό.
Το n παραγοντικό είναι ο αριθμός των τρόπων που
μπορείς να στοιχίσεις n αντικείμενα.
Θα σας δείξω τι εννοώ.
Ας πάρουμε κάποια αντικείμενα.
Θα βγάλω το πορτοφόλι.
Θα βγάλω κάποια νομίσματα.
Βλέπετε;
Ποιος λέει ότι οι μαθηματικοί δε βγάζουν πολλά λεφτά;
Υπάρχουν κυριολεκτικά 50 λίρες εδώ!
Ας διαλέξουμε ένα ασημένιο κι ένα των 5p.
Υπάρχουν 3 αντικείμενα εδώ, και πόσοι τρόποι υπάρχουν για να στοιχίσουμε
3 αντικείμενα;
Υπάρχουν 6 τρόποι για να το κάνεις.
Είναι 3 παραγοντικό.
Ας τους ελέγξουμε.
Ένας, δύο, ή μπορούμε να έχουμε αυτό εδώ--
τρεις, τέσσερις.
Ή θα μπορούσαμε να έχουμε--
Νομίζω αυτό ήταν που δεν είχαμε μπροστά.
Οπότε πέντε, έξι.
Αν αφαιρέσουμε ένα, τώρα έχουμε 2 αντικείμενα.
Πόσοι τρόποι υπάρχουν να στοιχίσουμε 2 αντικείμενα;
Ένας, δύο.
Αφαιρούμε ένα.
Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να στοιχίσουμε ένα αντικείμενο;
Ορίστε.
Υπάρχει ένας τρόπος να το κάνεις.
Ένας τρόπος να στοιχίσεις ένα αντικείμενο.
Τώρα θα αφαιρέσουμε και το τελευταίο νόμισμα.
Εδώ είναι που γίνεται λίγο φιλοσοφικό.
Έχουμε μηδέν αντικείμενα.
Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να στοιχίσεις μηδέν αντικείμενα;
Υπάρχει ένας τρόπος.
Και είναι αυτός.
Θέλετε να με δείτε να το ξανακάνω;
Ορίστε.
Ελαφρώς φιλοσοφικό, αλλά λέμε ότι υπάρχει ένας τρόπος
να στοιχίσεις μηδέν αντικείμενα.
Οπότε και πάλι, το πρότυπο στέκει.
0 παραγοντικό ισούται με 1.
Για να συνεχίσουμε την ιδέα και λίγο παραπέρα, εφόσον
μιλάμε για παραγοντικούς, ας προσπαθήσουμε να τους σχεδιάσουμε.
Ας πούμε ότι έχουμε 1, 2, 3, 4, 5.
1 παραγοντικό κάνει 1, οπότε αυτό ισούται με 1.
2 παραγοντικό κάνει 2, άρα κάπου εδώ.
3 παραγοντικό κάνει 6.
Δεν ξέρω.
Κάπου εδώ.
4 παραγοντικό κάνει 24, άρα βασικά θα είναι αρκετά
ψηλά εδώ.
Έπειτα, το 5 παραγοντικό θα βρίσκεται πολύ ψηλά.
Αν ενώσουμε όλα αυτά μαζί, είπα επίσης ότι το 0 παραγοντικό
κάνει 1, οπότε θεωρώ πως αυτή θα είναι η γραφική παράσταση.
Οπότε, θεωρητικά, θα πρέπει να μπορούμε να πάρουμε τιμές
μεταξύ, των αριθμών, ας πούμε από το 1,5.
1,5 παραγοντικό.
Πόσο κάνει 1,5 παραγοντικό;
Οι μαθηματικοί το έχουν υπολογίσει.
Έχουν γενικεύσει την ιδέα.
Και υπάρχει η ιδέα του 1,5 παραγοντικού.
Το ονομάζουμε γάμμα.
Είναι το ελληνικό γράμμα "Γάμμα".
Το λέμε "γάμμα του".
Κι ο τρόπος που το γράφουμε--
βασικά, εδώ γίνεται αρκετά πιο σοφιστικέ.
Λέμε ότι το γάμμα του n ισούται με το ολοκλήρωμα από μηδέν
ως άπειρο--
ας διαλέξουμε κάτι--
t υψωμένο στην n-1, επί e υψωμένο
στην -n dn.
Για κάποιους αυτό είναι κάτι άγνωστο.
Σε κάποιους από εσάς θα είναι κάτι γνωστό.
Σε κάποιους όχι.
Είναι μία πολύ πιο σύνθετη μαθηματική ιδέα, αλλά αυτό
θα συμφωνούσε με τους παραγοντικούς αριθμούς.
Αλλά σου δίνει κι ενδιάμεσες τιμές.
Σχεδιάζει αυτή τη γραμμή.
Υπάρχει κάτι που πρέπει να πω.
Είναι κάτι σχετικά απρόσμενο, αλλά αν πάρουμε μία τιμή για έναν ακέραιο
αριθμό, γάμμα του n, και ο n είναι ακέραιος, αυτό θα σου δώσει
n - 1 παραγοντικό, οπότε θέλει προσοχή εδώ.
Μπορεί να την πατήσεις.
Είναι λίγο θέμα αυτό.
Οπότε, ποιο είναι το νόημα να έχεις μία συνάρτηση που θα σου δώσει
παραγοντικούς ενδιάμεσα των ακέραιων, αριθμών που δεν μπορείς να στοιχίσεις;
1,5 αντικείμενο;
Είναι μία γενίκευση και όπως προκύπτει, είναι ιδιαίτερα
χρήσιμη σε πολλά πράγματα.
Συγκεκριμένα, σκέφτομαι για πιθανότητες.
Μπορείς να το χρησιμοποιήσεις σε συναρτήσεις που συναντάς πιθανότητες,
όπου σκέφτεσαι για τη συνέχεια του χρόνου αντί
να στοιχίζεις αντικείμενα με διακριτή πιθανότητα.
Τώρα αρχίζεις να σκέφτεσαι για συνεχόμενα γεγονότα.
Ο χρόνος είναι το καλύτερο παράδειγμα.
Οπότε αρχίζεις να γενικεύεις την ιδέα, οπότε χρειάζεσαι
έναν γενικό παραγοντικό αριθμό.
BRADY HARAN: 9, 6, και 3.
20.
44.